【小学数学】找准图形计量思维教学的“根”-全国名师工作室创新发展研究网

<img src="/data/upload/img/2019/12/10/5deef0b2934d0.jpg" title="5deef0b2934d0.jpg" alt="5deef0b2934d0.jpg" width="750" height="" border="0" vspace="0" style="width: 750px;"/>崔艳波：河北省特级教师，河北省学科名师，河北省优秀教师，河北省师德标兵，河北省骨干教师。河北省首届名师工作室主持人，河北省全员培训专家组成员，河北师范大学卓越教师实践导师，邢台学院省培授课专家，河北民族师范学院客座教授。课堂展示1 【实录】  一、借助不同形状的图形，唤醒面积和面积单位之间的联系师：老师的信封里藏着一些神秘的图形。有一个图形面积是1平方分米，猜猜它是什么图形？生：边长1分米的正方形。师：如果一个图形中含有3个1平方分米，它的面积就是--3平方分米。师：还真有一个3平方分的图形，猜猜看是什么形状？生：长方形或平行四边形。师：（出示3个1平方分米正方形组成的不规则图形）面积是3平方分米吗？生：是，因为它是由3个1平方分米的小正方形组成的。师：再添上一个小正方形，现在面积是多少？请讲道理。生：现在是4平方分米，因为它是由4个1平方分米的小正方形拼成的。师：说得真好，信封里还有个长方形，它是由6个1平方分米的小正方形拼成的。你能想象出它是一个什么样的长方形吗？生：6个1平方分米的小正方形摆成一排。生：一排摆3个1平方分米的小正方形，摆2排。师：这两种摆法面积都是6平方分米吗？生：是。因为都是用6个1平方分米的小正方形摆成的。师：老师今天只带了一种，你们猜是哪种？生：长3分米、宽2分米的长方形。师：你是怎么猜到的？生：因为这个信封里放不下长6分米、宽1分米的长方形。师：来！掌声送给会思考的孩子。师：信封里还有图形，一起倒数3个数看是什么图形？生：平行四边形。师：对，今天我们就一起来探究平行四边形的面积。师：凭借经验，估一估这个平行四边形的面积大约是几平方分米？生：6平方分米（4平方分米）。师：它的面积到底有多大呢？看屏幕，请用数格子的方法把它数出来。二、在测量面积的活动中，感悟行、列格子数与面积的联系师：（方格图上出示底3格，高2格的平行四边形）谁愿意分享你的想法？生：把不到一格的凑成满格数，就是6个1平方分米，面积就是6平方分米。生：把平行四边形沿高剪开，割下一个三角形，补到另一边，就拼成一个长方形。长方形的面积是3×2=6（平方分米），平行四边形的面积就是6平方分米。师：（出示底8分米，高4分米的图）这个平行四边形的面积又是多少呢？生：32平方分米。因为把它拼成长方形后，长有8个1平方分米的正方形，宽有4个1平方分米的正方形，8×4=32，面积就是32平方分米。师：（出示底是6分米、高是5分米的平行四边形）面积又是多少呢？                         生：30平方分米。因为平行四边形转化成长方形后，长有6个1平方分米的正方形，宽有5个1平方分米的正方形，6×5=30，面积就是30平方分米。师：“转化”这个词用得非常好，掌声送给她。三、从经验中领悟长方形与平行四边形之间的关系师：这个平行四边形的面积又是多少呢？<img src="/data/upload/img/2019/12/10/5deef26053db6.jpg" title="5deef26053db6.jpg" alt="5deef26053db6.jpg" width="500" height="" border="0" vspace="0" style="width: 500px;"/>生：底有14个1分米，高有10个1分米，14×10=140，就是有140个1平方分米，所以面积是140平方分米。师：如果底是30分米，高20分米，面积是多少？生：30×20=600（平方分米）。师：也就是含有600个1平方分米的正方形。如果底是100分米，高9分米，面积是多少？生：100×9=900（平方分米），也就是含有900个1平方分米的正方形。师：那么，平行四边形的面积其实就是——生：平行四边形的面积=底×高。师：不数方格会求平行四边形的面积，这个平行四边形的面积又是多少？（直接出示底a厘米，高h厘米的平行四边形）生：a×h。（板书：S= a×h）四、拓展延伸，内化思维，渗透数学思想师：一个面积是20平方厘米的平行四边形，底是多少厘米？高是多少厘米？生：底是5厘米，高是4厘米；底是10厘米，高是2厘米；底是20厘米，高是1厘米。师：底还有可能比20厘米长吗？生：可能，把平行四边形横着平均分成两半，拼在一起，底就是40厘米了。师：底还有可能比40厘米长吗？生：有可能，再把平行四边形横着平均分成两半，底就是80厘米了。师：如果再继续下去呢？底就会变成160厘米、320厘米……没有尽头。师：信封里还有一个平行四边形，我只知道它转化成长方形后长摆4个正方形，宽摆2排，你能说出平行四边形的面积是多少吗？生：可能是8平方分米。师：真的吗？请看——（每个小正方形的边长是5厘米。）师：你能算出它的面积吗？生：5×5=25（平方厘米），25×8=200（平方厘米）。师：其实，长方形和平行四边形的友谊还不止这些，（出示活动的长方形框架）这个长方形沿对角轻轻一拉，就得到一个平行四边形，和刚才的长方形面积还一样大吗？生：面积变小了。因为底没变，高变矮了。师：平行四边形再拉回长方形，面积会怎么样？生：面积变大了。因为底没变，长方形的宽比平行四边形的高长。师：真好！现在回头看你有收获吗？（梳理总结）（授课教师：河北省名师崔艳波工作室成员张桂玲） 课堂展示2【说课】一、教学分析《平行四边形的面积》是人教版小学数学五上第六单元多边形面积第一课时内容，之前学生已经认识了平行四边形的特征,掌握了长方形、正方形面积计算方法,本课将引导学生探究平行四边形的面积计算方法,也是进一步学习三角形、梯形等平面图形面积的基础。依据课标，结合学生认知水平和思维层次，目标确定为：a.在充分感悟面积度量本质的基础上，掌握平行四边形的面积公式，并用字母表示；会用公式计算平行四边形的面积。b.经历动手操作、讨论、归纳等探索平行四边形面积公式的过程。发展学生度量意识和空间观念，体会转化的数学思想和方法，渗透数形结合思想。c.在探究活动的过程中，获得成功的体验,形成积极的数学学习情感。二、教学理念为了突出面积计量的本质，本课加强了不规则图形及长方形、平行四边形面积单位个数“数”的过程。从“数”中体会和理解面积计算的本质，在此基础上，进行平行四边形面积公式的探究。三、教学过程（一）开门见山，揭示课题。<img src="/data/upload/img/2019/12/10/5deeef1ed282f.png" title="5deeef1ed282f.png" alt="5deeef1ed282f.png"/>  1.在方格图上出示10个1平方厘米的方格围成的组合图形。提问：图形的面积是多少？学生能直观数出包含多少个1平方厘米，面积就是多少平方厘米。2.在方格图上出示12个1平方厘米的方格围成的组合图形。提问：你能数出它的面积吗？你还能想到别的办法吗？设计意图：从不规则的图形“数”面积，到把不规则图形转化成长方形，通过看一排有几个小正方形，有这样的几排来计算出面积，让学生初步体会转化的数学思想，也给了学生很好的启发，为后续的研究打下基础。（二）动手操作,建构新知。1.猜一猜：平行四边形的面积和谁有关系，有什么关系？设计意图：先让学生猜测，初步引导学生建立平行四边形面积与底高的联系。2. 数一数：此环节借助多媒体摆方格，数面积数。出示底6厘米，髙3厘米，斜边4厘米的平行四边形。重点让学生思考摆方格的过程中，不满一格的处理办法，教师及时捕捉学生的思维火花，用数的方法找到平行四边形的面积。进一步引导，平行四边形的面积可能和什么有关系？促使学生思维不断深入，但不急于揭晓答案。继续把平行四边形压一压，变成底6厘米、高2厘米、斜边4厘米的平行四边形。学生把不满一格的凑成一格，数出面积。设计意图：围绕面积计算的本质，借助面积是1平方厘米的小正方形，计数图形的面积，从面积计算的本质上明晰了平行四边形面积与底高的关系。不仅有利于发展学生的空间观念，且为其今后容积、体积等内容的研究，提供宝贵经验。3.变一变。让小方格的个数更容易计算出来，你能想到好方法吗？你能利用手中的平行四边形纸片，剪一刀，把平行四边形转化成你会计算面积的图形吗？通过激疑激发学生思维，激活学生的创新意识。4.展一展。探索时，教师适当点拨，鼓励学生用多种方法尝试，同时引导学生互评。展示时，重点说一说“我是怎样剪的，怎样拼的”。学生思考主要有以下几种情况：一是从一个顶点往对边做高，沿着高剪开，把剪下部分平移到对面，拼成一个长方形。二是沿任意一条高剪开，把剪下部分平移到对面，拼成一个长方形。在此基础上引导学生思考：刚才的剪法中，有相同点吗？学生不难发现“都是沿高剪开的”。追问：“为什么要沿高剪开？”理解和体会沿高剪开的必要性和合理性。设计意图：给予学生充分的时间和空间，学生在活动中实践，在实践中交流，在交流中思考，多种感官参与学习，不仅积累了学习方法也理解了转化思想，同时使学生的操作技能得到进一步提升。5.理一理。学生在独立观察比较拼成的长方形和原平行四边形面积的关系的基础上，通过合作交流得出平行四边形的面积=底×高,及字母公式S=ah。设计意图：此环节，学生观察探究，采用类推的方法归纳出平行四边形的面积公式，发现规律。这一过程直接操作与间接说理相结合，学生从感性认识上升到理性认识，培养了学生的观察能力、合作意识和推理意识，促进了图形转化思想的落地，突破了教学难点，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学理念。（三）分层精练，拓展提高。第一层“懂”基本练。第二层“会”变式练。已知平行四边形的草坪的面积和底，计算高。第三层“熟”综合练。动态出示平行线间面积相等形状不同的平行四边形，发现规律，渗透“等积变形”的数学思想。设计意图：有梯度有层次的练习可以满足不同层次学生的需求。（四）课堂总结，深化新知。设计意图:通过学生谈收获，关注学生的活动体验，又充分提高了归纳和总结能力。（说课教师：河北省名师崔艳波工作室成员靳晓娜） 辨课进行时【现场】崔艳波：数学的“根”是思维，如何促进数学深度思考，让思维动起来？我们就由两节同课异构的“平行四边形的面积”说起，展开思维教学话题的讨论。话题一：思维某种程度上说就是一种连接力，今天请几位老师结合课例“平行四边形的面积”谈谈图形计量的思维教学我们应该从几方面去建立连接，让学生的思维动起来？李书红:让思维动起来首先要让知识间建立起有效连接。这种有效要建立在教师深挖教材、读懂学生、得他人之意这样一个路径下。比如说读懂教材，教师要思考读什么？怎么读？读到什么程度？教师对教材的内容了然于胸，课堂上才会淡定从容，智慧迸发。  张捷:学生是思维的主体，只有充分将学生的知识经验、认知基础、学习情感激活，才能让学习渐入佳境。两位老师在教学设计上都在激活学生经验上做足了功课，如张老师通过给出图形的面积数让学生猜图形，靳老师通过方格图让学生数面积数，在猜一猜、数一数的活动中充分唤醒学生已有的学习经验，即“含有多少个面积单位，面积就是多少”这一面积与面积数之间的关系，为迁移类推出平行四边形的面积也要看它含有多少个面积单位做好了思维迁移的基础准备。王美红:我非常赞同张捷老师谈到与学生主体建立连接的观点，其中与情感连接是启动思维的第一步。张老师用一个神秘的信封导入，把注意力集中到课堂上来，用“猜”展开探究活动，用“讲理”的方式，借理性思考和直觉思维推断直逼数学本质。话题二：核心素养背景下，倡导以系统化的思维把握知识本质，勾连知识联系，深度备课。结合两节课，从面积测量的本质出发，追根溯源，说说图形测量部分如何深度备课才能激活思维，体现数学思考的价值？申建霞:依据课标，图形测量的学科素养是要发展面积测量的空间观念。空间观念的建立离不开想象，想象力是抽象思想的核心因素，所以面积测量空间感的建立要聚焦在创设有效的问题情境让学生的想象力自然而然的形成。张老师利用方格，在说理中形成想象力，靳老师则在学生明白面积度量的本质后在操作中形成想象，都做到了让学生亲历知识形成的过程，对计算公式这一模型的建立不是停留在简单的操作之上，而是在明理的基础上深度思维，知其然更知其所以然。李铮：小学阶段学生先从一维图形：线段长度的度量出发，积累了长度测量的本质“含有几个长度单位，长度就是几”，这一经验迁移到二维图形的学习：面积的度量，学生积累的经验“含有几个面积单位，面积就是几”，进一步迁移到三维图形的学习：物体中含有几个体积单位，体积就是几。所以测量的本质就是度量单位的累加。理清了这一点，才能在摸准思维生长点的基础上，让数学思考顺势而生。徐金芹：顺着李铮老师的思路，还要理清面积测量知识板块中思维基础的萌发点、生长点，培养学生的迁移力。面积度量空间感的建立不是一课时能够完成的，内化为学生的经验要经历整个面积测量的逐步构建。学生学习长方形的面积已经对面积度量的本质“面积单位的累积”有了经验，后续思维的发展都是建立在这一思维原点之上的。迁移到平行四边形面积的学习，也要看包含多少个面积单位，但平行四边形出现了不满格，不满格的处理正是思维的生长点，是转化思想萌发的最好时机，本课转化的学习经验的积累为后续学习图形面积的计算打下了新的思维基础。理清了学生经验的迁移过程，思维才能借势、顺势拔节开花。郭艳静：深度备课不仅是纵向分析，还应横向对比。如：有的教材中用了方格，有的教材则是直接动手操作。以前我在设计这一课教学时总会纠结，用还是不用？倾听了几位老师的分析，我对“用教材教，不是教教材”有了更深刻的感悟：一是，用还是不用要看是否有利于知识本质的迁移。凸显面积度量的本质，数方格有其不可替代的数学思考价值，所以不仅要用还要充分利用。二是，只有整体分析教材，明晰知识的来龙去脉，才能围绕知识的本质，促进学生思维，创造性地使用教材。李书红：郭老师也启发了我，创造性使用教材还应围绕思维教学弥补教材中的不足。比如：有的教材提出“把平行四边形纸片剪一刀，然后拼成一个长方形。”明确的指向性，有利于操作，却不利于思维的延展，“为什么沿高剪？为什么拼成长方形？”这两个问题地追问才能勾连知识间的联系，促进思维发生，而不是简单的操作。张捷：对！操作的确要伴随着数学思考。靳老师在高于教材的基础上，说理与操作兼而有之；张老师没让学生动手操作，而是充分利用方格围绕面积度量的本质，以“理”服人，构建计算公式模型。所以深度理解了知识间的逻辑关系，才能在教学上高于教材、超越教材，这也是“教什么比怎么教更重要”背后的道理。话题三：作为这一单元的其他课时三角形面积、梯形面积从激活思维的角度在教学处理上应如何把握？在促进思维上，各位老师还有哪些不同的思考？徐金芹：立足整个面积测量知识体系，长方形面积是面积本质播种的关键课时，是后续面积计算的思维基础，平行四边形是利用转化思想解决不满格转化为满格的关键课时，两个关键课已经为三角形面积、梯形面积的学习种下了数学思考必备的种子，所以到这里学习时，教师要充分放手，让学生自主发展，更有利于思维的发展。王美红;不同的课时承载的数学思考不同，关键课就要精耕细作，该种下的不能马虎，否则会影响后续学习。一旦种好，教师要舍得放手，大胆放手，让学生有更多思考更多动手更多对话交流的机会。 专家点评问“根”教学，让思维动起来崔艳波“平行四边形的面积”和之前学习过的长方形的面积，之后将学习的三角形的面积、梯形的面积、圆形的面积都属于“图形与几何领域”面积的测量部分，从教材编排上看都安排了计算公式的推导及应用公式解决问题的过程，其背后的“理”是相通的。作为独立课时，又存在不同的“理”，弄懂这相通的“理”和不同的“理”便抓住了教学的“根”。如同植物的生长，“根”壮才能枝繁叶茂。我们需要在“根”上下足工夫，摸清需要借助哪些课时将数学思考的种子种下去，对根精心栽培，哪些课时教师可以放手启发学生借助前经验的迁移自主学习。这样看似相似的课才能上出不同的精彩。以《平行四边形的面积》为例，实现这个目标，我们需要在以下几个方面着力。一、知念从何起——探清知识发展的脉络1.教学现象。多数教师觉得公式推导课，条理清晰，学生易理解。而课堂实践中当学生提出：“平行四边形的面积为什么不能等于长乘宽？”等问题时，教师的处理办法总是用课件再重新演示一遍公式的推导过程，将公式总结的过程再复述一遍。这样的处理学生总是“给面”表示明白了，实际依然不知所以然。再如：有学生提出“为什么不满一格的要当做半格？”时，有些老师也只是一句“规定”敷衍而过，不能从“理”上疏通学生的疑虑。久而久之学生就成了没有思想的“操作工”，按照老师的合作提纲进行规定动作的演练，成了公式记忆的复读机。究其原因：教师对教材的理解缺少深度挖掘，不能从源头上给与学生必要的指导。对于新课标中“数学思考”教师本身也缺乏深度思考。2.问“根”溯源。平行四边形的面积数学思考价值到底是什么呢？教材上“把平行四边形纸片剪一刀，然后拼成一个长方形。”怎么产生的这种想法？通过教学我们需要留下什么？回答这些问题，我们需要跳出这一课，问“根”溯源。平行四边形面积属于量的测量板块。面积的测量，其“根”则是面积单位的计数。长方形面积通过平铺面积单位，发现“面积数”与“长宽数”间的关系，平行四边形的面积不能直接平铺面积单位获取“面积数”，所以我们借助方格回归面积单位的累加这一“根”系之上。数格子的难点自然聚焦在不满格的处理之上，学生会通过拼凑凑成满格计数，也有学生会想到将左边多出的三角形平移到右边填补缺掉的部分，也能凑成整格然后就能数出平行四边的面积了。这就解释了教材为什么要将平行四边形剪一刀拼成长方形，正是基于面积单位计数的需求，测量的方法也由长方形的直接测量转变为间接测量，使转化与化归思想的必要与重要”呼之欲出。而在探究“凑满格计数”的过程里，学生才能感悟到“凑满格计数”正契合了不满格按半格算的要求。而再解释为什么平行四边形不等于长边与宽边的乘积这个问题，我们同样要回归“面积单位计数”这个根上来解释，借助方格纸让学生观察长方形在拉成平行四边形的过程中，底不变，每排面积单位的个数没有发生变化，影响排数的不是平行四边形的宽边，而是高。高减少，排数就减少，面积单位的总个数就会减少。“磨刀不误砍柴工”，用足“数方格”，从“根”上理清知识发展的源头，在面积单位的计数上着力，呈现数学的本质，才是这一课的数学思考价值所在，而非公式的推导那么简单。以上在两位老师的教学设计里无论张老师的“明理”式还是靳老师的“操做与思考并行式”对上述分析都有较好的体现。二、知教为谁忙——探究激活学生思维的策略教师的使命是以学生为中心“创造合适的条件”，“因材施教”。这不可忽视的“材”便是要创造条件激活学生经验之材。学生的经验在哪里，思维的芽萌发点就在那里。这就需要教师充分了解学生承了哪些“前”？为后埋下哪些“启”？做足这些功课，学生思维的生长便是基于解决问题的“需求”自然的生长，学生便会在主动质疑、释疑、解疑中体会到数学思考带来的精神高潮而让课堂彰显思维的光芒。该如何创造合适的条件呢？从两节课中我们可以得到如下启示：1.激活经验，让思维主动深入。两位老师都围绕度量的本质进行了教学的设计。无论靳老师开门见山似的数面积单位，还是张老师“猜图形”本质都是在唤醒学生“面积单位与面积之间的关系”和图形的形状无关这一前经验。前经验的充分激活，使得学生在计数平行四边形这一新的素材时，转化的思想在学生解决新的问题中自然生发而出，张老师的几次图形素材的变化：学生在解决底3分米高2分米，底8分米高4分米，底6分米高5分米的平行四边形面积计数中很自然将平行四边形转化为长方形去计数，在长宽数与长方形面积数这一前经验的基础上生长出“平行四边形底和高数与面积数的关系”这一新的学习经验。靳老师则是让学生直面问题，在猜测的基础上：平行四边形的面积和底，高、斜边谁有关系？借助数方格验证并逐步发现平行四边形的面积数与底高数的关系。2.理明质清，让规律应势而生。张老师借助方格，让学生观察、悟理、讲理，深刻理解平行四边形的底就是长方形中每排面积单位的个数，平行四边形的高决定了摆放的排数，平行四边形的面积就是求该图形中含有几个这样的面积单位。同时平行四边形素材的变化，诱发学生步步深入，脱离格子根据底高数，在想象中明白转化后每排摆放格子数与排数，底高相乘计算出的就是平行四边形的面积数，总结出平行四边形的计算公式。靳老师则是让学生借助数方格明理的基础上通过动手操作，合作学习由学生总结平行四边形计算公式。两位老师共同特点都十分注重引导学生说理。理明质清，计算公式的得出也就应势而生。3.有效变式，让数理越辩越明。我们需要思索什么样的方式或策略摁亮了学生思维的开关？围绕面积度量的本质，制造意外，打破定式，多角度思考的变式设计，不断诱使学生思维向深处漫溯，才能让学生感受到思维被激活后带来的精神愉悦。如张老师的设计中，打破底高相乘是面积数的学习经验，让度量单位发生变化，诱发学生在思错中深度理解面积度量的本质。

【小学数学】找准图形计量思维教学的“根”

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