———以苏科版初中数学九年级上册《§2．1圆（1）》教学实践为例
潘建明 （江苏省常州市田家炳初级中学 213002）
教育教学的核心是“人的发展”。随着“学生发展核心素养”和“数学学科素养”的颁布，数学新课程改革已走向内涵发展期的“深水区”，数学课堂教学要从理念到行为的都要发生根本的变化。只有赢在课堂才能赢得未来。数学素质教育主阵地是课堂，课堂的“灵魂”是学生的“学习过程”。为了每一个学生能更好地掌握数学知能，在数学学习过程中获得提出问题、分析问题和解决问题的智慧。我工作室近十年来进行了“自觉数学课堂”[2]的教学研究。关注数学教学本质的回归：关注学习组织、学习起点、学习过程、课堂形态、教育角色、教育评价等一系列的变革，即让数学课堂教学从空间结构和时间秩序及活动流程都要发生了变化。旨在让数学课堂从“知识的课堂”——“能力的课堂”——“创新的课堂”——“自觉的课堂”进行一路转型，让课堂从教师如何“教”转变为学生如何“学”，关注创造新知、激发创新潜能、促进深度学习的发生、提升学生高阶思维品质。“自觉数学课堂”的教学策略是“学、教、做相统一，讲、探、练相结合”。从以教为中心、以学为中心进入教中有学、学中有教、不分彼此的“第三种教学关系”，实现了促进个性化学习的一种混合式学习。2017年5月23日在泰州市举行了江苏省初中数学名师发展共同体活动，本文以这次活动中笔者用八年级学生上的苏科版初中数学九年级上册《§2．1圆（1）》教学现实为例。
一、关注前经验唤醒，以“真学”定“真教”
学生在小学阶段对圆的相关知识已有了一定的认知，在新知教学中，我们必须首先弄清对他们已经对圆的知识了解了多少?已掌握了哪些?有哪些知识是正确的?哪些知识是模糊的?哪些知识是错误的?认知结构的状况如何?最近发展区在哪里?我们的教学起点在哪里?带学生走向哪里?……这些都以“真学”定“真教”的本质性问题。
[“自觉体悟”环节教学片断
师：请同学们举一些生活中有关圆的例子吗?
生1：车轮、转盘。
生2：帽子、硬币。
师：这两位同学举的例子中的图形都是圆吗?
生（众）：是！
师：老师再给出下列图形（如图1），请你判定哪些图形是圆?
生3：就第一个篮球不是圆，其他都是圆！
师：为什么篮球不是圆?
生3：圆是平面图形，篮球是立体图形。
师：你们还有不同的看法吗? 图1
生：没有了。
师：看来同学们在对“圆”的“正确认识”上还有一定的误区！到底什么样的平面图形才是圆呢?等我们探究完圆的定义，再来讨论这个问题。
启示：让学生在接受新知前我们要让他们从精神上、心理上、智力上、经验上都要作好学习新知识的准备，特别是在学生小学已学过的相关内容上，要找到切入口将新知能自觉地同化（或顺应）到旧知中，这类活动的设计切入口要小，但要平中见奇、引人入胜，且是具体的、现实的、有意义的和富有挑战性的，通过他们的感知、分析、判断、想象和归纳等心智活动，丰富基本活动经验，激发对新知的兴趣和好奇心。只有学生获得了实际的感观，才有探究和接受新知的“思维新基点”。让学生在自觉体悟中形成认知冲突，才能激发学生进一步探究的热情，这是学生认知的基础。
二、运用做中学、思、探，自觉认知圆的本质
在小学学生已经学习过如何用圆规画圆，他们对圆的认识若只停留在这个水平上，是很不够的，我们要精心设计递进性学习活动，让学生在做中学、思、探，引导学生发现圆的形成过程，给出圆的“运动定义”。让学生“用圆规画圆”这是做中学的起点，也是让学生进行在做中学、思、探的基础，我们的数学教学活动起点要低，但立意要高，活动的精度要好。
[“探究导学”环节教学片断
师：请同学们用圆规在学案纸上画一个圆。
（学生画圆）
师：请同学比较小组内各位同学所画的圆，你有什么发现或感悟?
（小组交流后）
生4：画一个圆需要两个要素：圆心和半径。
师：这两个要素对作出的圆的形状与大小有什么影响?
生4：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
师：请同学们思考：如何在运动场上画一个半径为20m的圆?小组交流。
（小组交流后）
生5：让一个同学拉住20m长的绳子的一端固定在一点，另一个同学拉直20m长的绳子在运动场上绕着固定的一点旋转一周，他画出来的圆即为所求作。
师：其他小组有不同的意见吗? 图2
生6：我们小组认为，可在运动场上取一点作为圆心，将运动场上所有到这个点的距离等于20m的点用一条曲线连起来就可以得到要画的圆。
师：还有不同的想法吗?
生：没有了。
师：现在我们回顾圆规画圆和用绳子画圆的过程，请看视频（如图2、图3）。
师：小组交流；圆规画圆和用绳子画圆它们有什么共同点和不同点?（小组交流后） 图3
生7：它们的共同点是一个点固定，另一个点绕着它旋转一周；不同点是画小圆用圆规，画大圆用绳子。
生8：他说得不对！它们的共同点是一个点固定，另一个点绕着它旋转一周，还要加上运动点到固定的点的长度（距离）要保持不变。
师：好的！请同学们再探究：圆规画圆和用绳子画圆，它们能画出圆的本质是什么?
（小组交流后）
生9：将一条线段的一个端点固定，另一个端点绕着它旋转一周，所画出的图形就是圆。 图4
生10：还要加上“在同一平面内”和“画出的是封闭的图形”。
师：这两位同学基本上说出了圆规画圆和用绳子画圆的本质。现在老师来用几何画板演示一下（如图4）.
师：看完老师的动画演示，你有什么感悟?怎样给圆下定义?同位互动交流后小组整理。
（学生交流互动后）
生11：在平面内,把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的封闭图形叫做圆。
师：这位同学说得很好！这就是圆的“运动定义”（板书）。定点O叫做圆心。线段OP（定长）叫做圆的半径。记为“⊙O”，读作“圆O”。现在再请同学们思考：圆是一条线?还是一个面?
生12：一条线，不是一个面！
师：为什么?
生12：圆是“在平面内,把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的封闭图形”而不是“线段OP运动所形成的图形”。
师：现在我们再回头看一下刚才的问题判断（如图1）下列图形哪些是圆?
生13：只有（4）是圆。
师：为什么硬币不是圆?
生13：硬币是圆面！圆是一条封闭的曲线。
启示：“自觉数学课堂”教学的本质并不是只关注活动经验的简单积累，而应更加重视如何能够帮助学生在经验的积累中实现相应的思维发展，并不断地向更高层次提升，只有这样才能让学生学会用知识生成智慧。为了帮助学生形成智慧，我们就应更加重视数学学习活动的学程设计，要更加重视学生对于学习活动的直接参与。这里通过学生熟悉的圆规在纸上画“小圆”开始，再让学生解决在运动场上画半径为20m的“大圆”，探究用圆规画圆和用绳子画圆的本质上的异同性，让圆的“运动定义”“自觉生成”。因此，我们要通过递进性的学习活动，运用做中学、思、探，让学生自觉认知圆的本质，促进学生对圆的“运动定义”的“同化”和“顺应”。
三、提供先行组织者，助力学生自觉创造新知
在《圆（1）》这一教学内容中，学生的认知难点是圆的“集合定义”，教学重点是点与圆的位置关系的认知与判断方法，为了减轻学生的认知负荷，突破教学难点，让学生建立对新知的“有序理解”，我改变了教材中的知识呈现的顺序。在教学中，我们常常要让教材的逻辑结构要服从学生的认知逻辑结构，这就需要我们深度了解学情，灵活处理教材，这样才能使学生的学习过程鲜活而灵动。
[“深度探究”环节教学片断
师：请同学们观察图4，思考：圆将平面分成几部分?
生14：圆将平面分成三部分，分别是圆内部分、圆上部分和圆外部分。
师：现在老师向这个圆所在的平面内撒若干个点，如图5所示，请你说出点与圆的位置关系。先请认真思考后在小组内交流。
（学生小组内交流后）
生15：点与圆的位置关系有三种：分别是点在圆内、点在圆上和点在圆外。
师：我们怎样判断点与圆的这三种位置关系呢? 图5
（生一脸茫然）。
师；现在让同学们先解决一个问题，能否从解决这个问题中获得一些启示。
教师给出问题情境（先行组织者）：海平面内，以点O为圆心的10km内和边界上有暗礁，A船距点O的距离为8km，B船距点O的距离为10km，C船距点O的距离为15km，请判断A船、B船和C船分别有无触礁的危险?
生16：A船、B船有触礁的危险，C船没有。
师：为什么?
生16：因为以点O为圆心的10km内和边界上有暗礁，A船距点O的距离为8km，说明A船在圆内；B船距点O的距离为10km，说明B船在圆周上，它们都有触礁的危险，而C船距点O的距离为15km，说明它在圆外，就没有触礁的危险。
师：如何判断点与圆的位置关系，你有何想法?
生17：将点与圆心连接起来，用这条线段的长度与半径进行比较就行。
师：我们记圆的半径为r，这条线段的长度为d，如何判定点和圆的位置关系呢?现在请各小组画图并探究。
（小组合作探究后）
生18：当d
生19：老师反过来也是可以的。当点在圆内时，则d
师：同学们，探究得很好！前一个同学说的是点与圆位置关系的判定方法，后一个同学说的是点与圆位置关系的性质。现在我们将点与圆位置的判定和性质用“”来表示，读着“等价于”，它的含义是从左边能得到右边的同时，也能从右边得到左边。点与圆的位置关系用“”表述如图6. 图6
师：刚才我们在画半径为20m的大圆时，有小组说“可在运动场上取一点作为圆心，将运动场上所有到这个点的距离等于20m的点用一条曲线连起来就可以得到要画的圆。”现在我们重点讨论“点在圆上d=r”，根据“等价于”的意义，它的含义是什么?
生20：如果点在圆上则这个点到圆以的距离等于半径；如果一个点到圆心的距离等于半径则这个点在圆上。
师：这句话似曾相识，在哪里遇到过的?
生20：学线段的垂直平分线的时候。
师：当时是怎么说的?
生20：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；最后得到了“线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合”。
生21：老师还有。角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；最后得到了“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”。
师：现在你们有什么要说的?
生22：我们可以类似地得到“圆是到圆心的距离等于半径的点的集合”。
师：很好！不过现在我们将圆心说成定点，半径说成定长，这样又该怎样表述?
生：（众）圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。
师：这就是圆的集合定义（板书）。结合点与圆的位置关系，你们还能得到哪些类似的结论?
生23：圆的内部是到定点的距离小于定长的所有点的集合。
生24：圆的外部是到定点的距离大于定长的所有点的集合。
启示：点与圆的位置关系的判定方法与圆的“集合定义”都是学生的认知难点，本学习活动从圆将平面分成几个部分自然过渡到点与圆的位置关系的分类，当如何判定点和圆的位置关系学生一莫愁展时，通过给一个问题情境，启发了学生的思维，寻找到了判定的策略，并由个性问题追溯到共性问题，总结出了一般规律。再通过“点在圆上d=r”的双向本质性的解读，类比线段的垂直平分线和角平分线的“集合定义”，顺理成章地得到了圆的“集合定义”，这样提供先行组织者，不但使学生学会了在原有知识基础上学习新知识的方法，也助力学生自觉创造新知。
四、讲、探、练结合，促进高阶思维自觉形成
“自觉数学课堂”突出自我责任、自觉体悟、思维素养、学习品质和自组织力。建构主义认为，学习过程一方面是对新信息的意义的建构，另一方面也包含对原有经验的改造与重组。课堂教学中一定要让学生的学习从浅层学习（理解、识记和应用）走向深层学习（分析、评价和创建），在教学策略上要关注讲、探、练相结合，通过师生、生生和生本的多维互动，让学生重构自己原有的认识，取得更加全面深刻的感悟，促进高阶思维品质的自觉形成。
在“变式应用”环节教学中，我设计了如下的问题。
1.已知⊙O半径为5， ①若OP=3，则点P在⊙O____; ②若OP=5，则点P在⊙O____; ③若OP=7，则点P在⊙O____。
2.已知⊙O的半径为r，OP=8. ①若P在⊙O外，则r的取值范围为_________; ②若P在⊙O内，则r的取值范围为r_____; ③若P在⊙O上，则r_____ 。
3.如图7，矩形ABCD对角线相交于O，问题：点A、B、C、D是否在同一个圆上？如果在，圆心是什么？半径是什么？ 图7
4.如图8，已知线段PQ＝4cm.（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．（3）在所画图中，到点P距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它指出来．
启示：在数学学习过程中，学生在已获得了对感知新知的一些初步经验的基础上，再有同伴之间的良性差异互动，使他们看到了同伴与自己不一样的思考、听到了与自己不同的观点，便能多角度和多途径地完善对数学新知的理解，也丰富了自己所积累的学习活动经验，这也是在“教、学、做”后的“讲、探、练”的意义所在。在“变式应用”这个环节，用四个问题组成的“问题串”把学生的思维不断地引向深入，激发学生多向度、本质性地认识问题，激活师生的创新意识和创造能力，扩大了学生的“认知半径”和提升思维品质，也提高学习策略运用水平。
知识是血肉，能力和方法才是灵魂；知识和方法相比，方法更容易成为能力；能力与方法携手，便是潜在的创造力。数学知识的获得和技能的养成是学生数学学习的内容，提升学生的数学素养、思维能力、学习品质和数学素养才是数学教学的目标。只有通过有效的活动让学生在积累基本活动经验基础上，进行“自觉体悟”，要经过“教、学、做”相统一的学习过程，再经过“讲、探、练”相结合的思维过程，才能促进学生的智慧生成。
此论文发表在《初中教育研究》2017年第9期
[1] 此论文发表在《初中教学研究》2017年第9期.
[2] 构建自觉数学课堂的原则是“因材循导、自觉体悟、平等对话”，其主要教学策略元素是：思（引发真学）——展（多维促进）——变（变式引领）——悟（感悟反思）——归（四基四能）．
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