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数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的灵魂深处。------王永春

王永春：华东师大数学系毕业，北京师大教育学硕士。人教社小学数学编辑室主任。从1991年至今一直从事小学数学课程教材的研究和编写工作。参与多套小学数学教材、教师用书、教学案例等书编写，对小学数学思想方法有深入的思考和探索。

本书《小学数学与数学思想方法》分为上下篇，上篇是对数学思想方法的系统阐述，下篇是小学数学教材中数学思想方法案例解读。

书中，提供了好多的案例，以拓展知识面、更加有利于了解和掌握思想方法，有利于中小学的衔接。有的案例是在小学知识基础上的拓展和提高，有的是中学知识的简化。下册按照教材的顺序进行了案例解读，便于教师查找。这是一本实践性很强的书，理论方面的内容不多，更多的实际的指导和点拨，特别适合年轻教师、刚上岗的教师学以致用。

那么这些数学思想如何分类？史宁中教授也在思考这个问题，史校长思考的结果——数学思想是有层次的，较高层次的基本思想有三个：抽象思想、推理思想、模型思想。他曾经提到，抽象思想使生活中的问题转化成数学问题，推理思想使得数学理论向前发展，模型思想使数学理论应用到现实生活中去。史校长认为就抽象的深度而言，大体上分为三个层次：简约阶段、符号阶段、普适阶段。读了本书，对这三个层次有了清晰的认识。

数学思想方法简介

一、对数学思想方法的认识

   数学思想方法是对数学知识的本质、理性认识。数学思想是有层次的，较高层次的基本思想有：抽象思想、推理思想、模型思想，这三个基本思想分别对数学学科的建立、发展和应用起到了重要作用。这三个基本思想演变、派生、发展处很多其他的较低层次的数学思想。

基

本

思

想

抽象

思想

符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想

有限与无限思想、变中有不变思想

推理

思想

公理化思想、归纳推理、类比推理、演绎推理、

化归思想

变换思想、数形结合思想、代换思想、逐步逼近的思想

模型

思想

简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想

随机思想、统计思想

审美

思想

简练、对称、统一、透过现象看本质

  数学方法一般是指用数学解决问题时的方式和手段。

  数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想是数学方法的进一步提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法又要以一定的数学思想为依据。

    《课标2011版》解读认为数学方法也是有层次的，基本方法有：演绎推理的方法、合情推理的方法、变量替换的方法、等价变形的方法、分类讨论的方法等等。下一层次的方法有：分析法、综合法、穷举法、反证法、列表法、图像法，等等。

对于数学思想、数学方法、数学思想方法这三个概念有时很难分清楚。如，推理思想是数学中的重要思想，在数学的各个领域都有广泛的应用，在此思想指导下，有三段论、数学归纳法和类比法、归纳法等具体的数学方法。再如，数学抽象，有专家称为数学抽象方法，有专家称为数学抽象思想。所以，数学思想方法的分类并不是逻辑意义上的严格的概念分类。

二、数学知识与数学思想方法

数学知识一般指数学的各个分支的具体内容，以及相应的概念、性质、法则、公式、公理、定理等。

如，义务教育阶段的数学分为数与代数、图形与几何、统计与概率等；高中数学往往分为代数、几何、微积分、概率统计、算法等。

数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法是对数学知识的进一步提炼概括。

三、数学思想方法对于小学数学的教学意义。

1、有利于建立现代数学教育观、落实新课标理念。

2011版新课标在总体目标中明确提出：学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。 这一总体目标贯穿于小学和初中，这充分说明了数学思想方法的重要性。

课标进一步指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本生活经验。由过去的“双基”首次提出“四基”的理念和目标，也首次把数学思想作为义务教育、尤其是小学数学教育的基本目标之一，更加强调数学思想的重要性和重视数学思想的贯彻落实，这在我国的小学数学教育发展史上，具有里程碑的意义。

数学作为培养人的思维能力的学科，它的地位和作用是不可替代的。数学的功能无论是技术功能还是思维功能，都不仅仅是数学知识和技能在发挥作用，更重要的是它的思想方法在发挥作用。对学生来说，获得良好的数学教育的标志是三维目标的整体实现，尤其是“四基”的整体实现，体现了现代数学教育观和数学素养的新内涵，即培养学生逐步学会用数学的眼光看待世界、分析和解决问题。

2、有利于提高教师专业素养、提高教学水平。

数学课标把数学基本思想作为四基之一，小学数学老师会面临更大挑战。一方面是关于数学思想方法的专业知识方面的欠缺，另一方面是课堂教学中应该具备的数学思想方法的意识、经验、策略的不足。

小学数学课堂，重视基础知识和技能训练相当普遍，容易“就事论事”，教什么练什么，缺少对数学思想方法的抽象概括。

例如：在教学10的认识时，多数教师会结合计数器、点子图、小棒等直观教具然学生认识到9添上1是10，然后再进一步学习10的组成及加减法。没有引导学生思考：10与前面学习的0~9这些数有什么不同？  这里实际上隐含一个非常重要的思想方法------数学抽象，它比8、9的抽象水平更高，因为10不仅是对任何数量是10的物体的抽象，进一步地它已经不再用新的数字计数了，而是采用了伟大的十进位值计数原理。  多数教师没意识到这一点，主要原因是教材中没有很好地体现这一思想。

3、有利于提高学生的思维水平、培养“四能”

从学生学习数学的角度来说，从特殊的知识抽象概括成一般的概念、原理，再上升到思想方法，更加有利于实现学习迁移。所谓举一反三、闻一知十，也是这个道理。

例如：学生学习数学存在一个比较普遍的现象，就是在教师教学完新知识进行变式练习甚至是简单的变式练习时，有一部分学生存在困难。在一年级学习完6、7的认识、读写后，要边涂图片边写6的组成。多数学生没有有序思考，杂乱写出。只有少数学生按顺序写出来了，老师引导学生总结后，肯定了有序思考的优越性。再放手写7的组成时，大部分学生都能有序思考，又快又好地完成了。可见，数学方法是重要的，在低年级也是可以实现且能够迁移的。

传统的数学教学注重以数学思维活动和培养学生的思维能力为核心，当今的数学教学虽然教学目标多元，但是培养思维能力仍然是数学教学的核心目标之一，包括风靡一时的奥数培训，课后数学辅导班等，都是以训练思维为主要目标。数学思想方法的教学不但可以起到培养思维能力的作用，还可以调解决问题的能力。数学的三个基本思想，如抽象思想、推理思想、模型思想就已经包括了思维能力和解决问题能力的培养。所以，搞好数学思想方法的教学，有可能提高学习效率和减轻学生课外学习的负担。

在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学的概念、公式、法则、定律等知识的数学本质的理解，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力及思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵所在。

二、数学思想方法的教学

（一）小学数学思想方法教学的可行性

南开大学顾沛教授说：小学生、中学生、大学生，数学学习的内容虽然不同，但是通过数学课程，渗透数学思想方法，提高数学素养这一点是共同的。数学教学，很重要的是提高学生的思维品质。数学思想方法的渗透，应该是长期的，应该从小学一年级开始，也完全可以从一年级开始。

小学生的抽象思维水平不断提高。吴国宏教授认为“一年级儿童不具有形式运算思维能力，三年级的儿童已经进入形式运算的前期，五年级儿童正式步入形式运算阶段。”这表明，小学生逐步具备了观察、比较、分析、综合、抽象、概括的能力和推理能力。教师面对比较抽象的、概括的、不同难度的数学思想方法，可以让不同年级的学生的学习目标有所不同，低年级学生能够感受、了解，中年级学生能够体会、理解，高年级学生能够理解、运用。

综上所述，小学数学教学中落实数学思想方法的目标是必要的也是可行的。需要小学数学界共同来研究数学思想方法在小学数学中的应用，以及根据小学生的认知特点和年龄特征探索数学思想方法的教学目标层次，积累教学经验，使得数学思想方法的目标不再是附属品一样永远停留渗透的层面上，而是像双基一样，真正成为课堂教学的常态目标，成为学生数学素养不可分割的一部分。

（二）数学思想方法的教学

1、重视思想方法目标的落实

广大教师在备课撰写教学计划时，把数学思想方法作为与知识技能同等地位的目标呈现出来，而不是可有可无或者总是渗透，并利用这些动词进行描述和评价，使数学思想方法的教学目标落到实处。

一类是描述结果目标的：了解、理解、掌握、运用

一类是描述过程目标的：经历、体验、探索等。

2、在知识形成过程中体现数学思想方法

当前教学中（特别是中学）有一个现象：精讲多练。就是急于把概念、公式、法则、定理等知识传授给学生，然后按照考试的要求进行技能训练，即轻视知识的形成过程，重视技能的训练。这种教学模式表面上对应试有效果，实际上既浪费时间、又没有真正培养学生的思维能力、思想方法和学习兴趣，导致很多学生害怕数学。

2011版课标重视过程目标。让学生有机会获得直接经验，注重对学生数学学习过程的评价，教材编写要体现知识的形成和应用过程。因此，教师在教学过程中要一如既往地重视知识尤其是概念的形成过程，因为概念不仅是基础知识，也是抽象思维的基础和基本形式。良好的知识结构是学生获得数学思想方法的基础，只有了解了概念与概念之间的关系，才能很好地利用分类的思方法、模型思想和推理思想等学习数学、解决问题。

现行教材对知识的呈现体现了他的发生发展过程，有利于教师引导学生经历知识的形成过程。

如：除法是重要的而且难理解的概念。教材为学生经历除法概念作了很多铺垫。情景图。

例1：把6块糖分成3份，理解平均分。

例2、3体验平均分有两种实际情况及平均分的过程、方法与结果。例4，把12个竹笋平均分成4盘引出除法、除号的概念。例5，把20个竹笋每4个装一盘，引出被除数、除数、商的概念。整个教学过程非常、丰富，有观察、操作、演示、语言表达、画、书写、符号特征、思考等多种活动，学生在已有的生活经验和积累的活动经验的基础上，逐步抽象出除法，初步理解除法的概念。再通过适当的练习和利用乘法口诀求商，进一步理解除法的概念。

这个过程中，教师引导学生感受从直观操作的具体情境中抽象出除法的抽象思想，认识用除法符号表达的具有简洁性的符号化思想，体会用实物、图形帮助理解除法的具有直观性的数形结合思想，知道除法是一种重要的模型的模型思想，体会在除法中商随着被除数、除数的变化而变化的函数思想。当学生认识了除法，在以后的学习中再通过学习有余数的除法、笔算除法等知识逐步加深对除法的理解，会更有利于分数、比、百分数等知识的学习，体会数学本质的变中有不变的思想。

小学数学学习的一大特点是很多法则、性质、公式、定律等，是通过实验、观察、猜想、类比、归纳等非演绎推理方法获得的。学生经历和体验了这些知识的形成过程，有利于理解所学知识及其背后的原理，有利于提炼概括数学思想方法，提高学生的思维水平和思想方法方面的数学素养。

3、在知识的应用过程中体现数学思想方法。

小学生学习数学，一方面为将来的学习打基础，另一方面要解决问题，包括数学问题和生活中的问题，即解决问题是很重要的方面。有些教师反映，教材中问题解决的例题简单、习题难，也就是说部分学生在教学了例题后做练习时遇到了困难，原因有两种，一种是习题确实难了，另一种是该部分学生没有形成迁移能力。这种迁移能力的形成，需要方法上的提炼，即所谓授人以渔。

传统教材应用题的编排结构是与四则运算、混合运算相匹配。现行教材问题解决的编排是以问题串的形式呈现，这些都是很好的做法和经验，是知识结构的基础。但这种结构是线性的。

如果再能够以基本模型和问题为核心，建构问题链，从而最大限度地整合丰富多彩的问题。这样能够把握数学本质，避免被各种问题的表面信息所迷惑。

例如：以路程、速度、时间的模型 s=vt以乘法模型为核心，可以得到另外两个基本的变式，相应的除法模型 v=s÷t，和t=s÷v；再分别把其中的一个量做些适当的变化，会得到更多的变式模型，形成模式链。这样在解决各种问题时，凡是有关路程、速度、时间的问题，都可以归结为这个模型链中的问题。

4、在整理和复习、总复习中体现数学思想方法。

每个单元后的整理和复习、全册书后的总复习，不是简单地复习知识、巩固技能，更是思想方法的总结与提升。如教学乘法口诀后，进行复习整理时，不能只说重复前面的知识，背诵、整理，还要进一步提炼，如

5×1= 5

5×2= 10

5×3= 15

5×4= 20

5×5= 25

引导学生思考，每一列算式有几个数？哪些书不变，哪些数在变？是如何变化的？你发现什么规律？你能用一种更简洁的方式表达出来吗？使学生感受正比例函数y=kx的思想。

六年级毕业复习，更是要进行系统化的梳理。

5、潜移默化、明确呈现、长期坚持

教科书中的很多内容都渗透了各种数学思想方法，有些是明显的，有些是隐藏的。如：符号化思想就是明显的，表内乘法中体现函数思想就是隐藏的。教师在研读教材、设计教学案例时，要注意体会数学思想方法的目标，要结合每堂课的教学内容体现不同的思想方法目标，重要的可以在教学中用板书、PPT等形式加以明确呈现，如转化思想、模型思想、归纳思想、数形结合思想、分类思想等。

如何让书越学越薄呢？最好的方法就是，适当掌握双基、提炼思想方法、学会运用思想方法。

诸多思想方法：

与抽象有关的数学思想

      1、抽象思想

2、符号化思想

      3、分类思想

      4、集合思想

      5、变中有不变底线

      6、有限与无限思想

与推理有关的数学思想：

      1、归纳思想

      2、类比思想

      3、演绎思想

      4、转化思想

      5、数形结合思想

      6、几何变换思想

      7、极限思想

      8、代换思想

与模型思想有关的数学思想：

     1、模型思想

     2、方程思想

     3、函数思想

     4、优化思想

     5、统计思想

     6、随机思想

与模型思想有关的数学思想：

     1、模型思想

     2、方程思想

     3、函数思想

     4、优化思想

     5、统计思想

     6、随机思想

其他的数学思想方法：

1、数学美思想

       2、分析法和综合法

       3、反证法

       4、假设法

       5、穷举法

       6、列表法

       7、图示法

数学思想方法之------与抽象有关的数学思想

一、抽象思想

（一）数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，对于培养人的抽象思维能力和理性精神具有重要的意义。

1、数学抽象在数学中及教学过程中无处不在

2、数学抽象是有层次的。

   （二）、抽象思想的应用

   数学是研究数量关系和空间形式的科学。这种数量关系和空间形式是脱离了具体事物的，是抽象的，因此，抽象思想在数学中无所不在。

   学生认识数的过程伴随着整个义务教育甚至高中阶段。如：学生在学习0~10的认识时就开始与抽象思想打交道了，虽然学生并不完全理解0~10是经过对客观事物的数量多少进行抽象而得到的，但是能够体会到一个人、一个苹一支笔等都可以用1来表示。当学习到11~20的认识时，抽象的层次又提高了，实际上从10 开始就已经发生了微妙的但是根本的变化，就是，10虽然是9加上1 ，但是它已经没有用新的符号表示了，而是用了前面的符号1和0，这就揭开了用十进位制计数法表示比9更大的数。…不断认识亿以上的数、分数、小数、负数等。

（三）、抽象思想的教学

根据小学生的心理特点和规律，小学数学的教学往往注重操作和直观，这样学生容易理解抽象的数学知识。但是，教师需要注意的是，操作和直观是教学手段而非目的，要在适当的时机进行适度的数学抽象，这对发展学生的抽象思维能力和认识数学的本质有益处。

在到处提倡情境的数学教育时代，抽象在小学数学教学中往往容

易被忽略。在小学数学的教学过程中，在注重操作、直观的同时，在符合学生认知特点的情况下，适时、适当第体现数学抽象的思想，对学生的抽象思想思维发展是有益处的。抽象思维发展了，能够促进学生学好数学、用好数学，去解决更多的实际问题。

    著名的哥尼斯堡七桥问题，很多人进行了尝试，都没有成功。瑞士著名的数学家欧拉通过数学抽象的方法解决了这个著名的问题。

    这个问题好像是几何问题，但又与传统的几何研究图形的形状和大小没有关系，也就是说，这个问题并不关心陆地、岛屿、桥梁的大小。因此可以把陆地、岛屿抽象成没有大小的数学上的点，把七座桥抽象成没有宽窄的数学上的线，这样就把地理上的地图抽象成了数学上的几何图，把原来能付不重复、不遗漏走路的问题抽象成能否一笔画问题。

能够一笔画的图形的特征分析：这样的图形一般有一个起点和一个终点，特殊情况当终点也是起点时这两点也就重合了。除了这两点外，图形中的其他点所连接的线都应该是若干对一进一出的偶数条，这样的点称为偶数点，否则称为奇数点。也就是说，能够不重复地一笔画的图形，只有起点和终点可以是奇点，即，能够不重复地一笔画的图形中，奇点个数只能是1或2，由此得出，只有当图形中的奇点个数是0或2时，这样的图形才能够不重复地一笔画出。

   七桥问题有4个奇点，不是一笔画问题。人们怎么走也不可能一次不重复、不遗漏第走完七座桥。

二、符号化思想

1、符号化思想的概念。

    数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。

课标解读：符号是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。

2、如何理解？

第一，理解符号所表示的数、数量关系和变化规律。

第二，能用符号表示数、数量关系和变化规律。

第三，知道使用符号可以进行运算和推理，是进行数学思考的重要形式，得到的结论具有一般性。

3、教学中如何落实？

  （1）在概念、公示、法则、性质等的教学中，培养符号意识。

  （2）在解决问题的过程中，培养符号意识。

  （3）在高年级（六下总复习）加强符号化思想的教学。

    案例1：如果用????/???? 、 ????/????分别表示两个异分母分数，请表示这两个分数加法、乘法的计算法则。

    案例2：计算，                                                               你能发现什么规律？                            ，（       ）

三、转化思想

（一）、认识

   如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往会将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决。这种思想方法称为转化（化归）思想。

（二）、原则

数学化 ：生活中的问题转化为数学问题

熟悉化：陌生问题转化为熟悉问题

简单化：复杂问题转化为简单问题

直观化：抽象问题转化为具体问题

（三）、转化思想的应用

1、直接运用已有知识可以顺利解答的问题。

2、陌生的知识、或者不能直接运用已有知识解答的问题，需要综合运用已有知识或创造性地解决的问题。

     转化条件    转化思路  

3、解决问题的过程，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程，应用非常广泛。

表格

（四）、转化思想的教学举例

1、化抽象为直观

   【案例】有2件不同的上衣，3条不同的裤子，2双不同的鞋子，一共有多少种不同的穿法？

     此题如果用分类法、枚举法会比较麻烦，假如用直观的树状图，把抽象的问题直观化，容易解决。

2、化繁为简的策略：鸡兔同笼  植树问题

3、化实际问题为特殊的数学问题

【案例】李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱？

    2千克苹果+3千克香蕉=11元

   1千克苹果+2千克香蕉=6.5元

   2千克苹果+4千克香蕉=13元   13-11=2元

4、化未知为已知

【案例】水果店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？

  算术法：几倍多几（少几）  学生最容易错

  方程：设香蕉（1倍数）为x千克  。苹果为2x+30千克

案例启示：知识与方法

1、水果店昨天销售的苹果比香蕉的2倍少30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？

2、水果店昨天销售的香蕉比苹果的  多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？

3、水果店昨天销售的香蕉比苹果的  少30千克，这两种水果一共销售了120千克。销售苹果多少千克？

4、水果店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是香蕉的3倍，这三种水果一共销售了180千克，销售香蕉多少千克？

     高水平教学    标准化考试    人人得到不同的发展

【案例】学校买来一批小足球分给五年级各班。如果两个班各分5个，其他每个班分4个，则多7个；如果一个班分8个，其他班每班分6个，则少5个。学校五年级有几个班？一共买来多少个小足球？

把“两个班各分5个，其他每个班分4个，则多7个”转化为“每班分4个，则多9个”；把“一个班分8个，其他班每班分6个，则少5个”转化为“每班分6个，则少3个” 。

班数：（9＋3）÷（6－4）= 6（个）

球数：4×6＋9=33（个），或6×6－3=33（个）

【案例】四位同学去种树，第一位同学种的是其他三位同学种树总数的一半，第二位同学种的树是其他同学种树总数的三分之一，第三位同学种的树是其他同学种树总数的四分之一，而第四位同学刚好种了13棵。问：四位同学共种树多少棵？

题中出现了三个单位“1”，关键是抓不变量，转化单位“1”，应该将三个不同的单位1转化成统一的单位1——四位同学种树的总数

【案例】甲乙两人同时从距离20千米的两地出发，相向而行。甲每小时行5.5千米，乙每小时行4.5千米。甲带着一只狗，狗每小时跑10千米。狗同甲一起出发，碰到乙立即掉头往甲这边跑，碰到甲又往乙这边跑，直到两人相遇。问这只狗一共跑了多少千米？    

   转变思路

 20÷（4.5＋5.5）×10 = 20（千米）

  本书的下篇：小学数学教材中的数学思想方法案例解读。

  分年级分册把各知识点中应用到的思想方法进行了一一解读。没有按照思想方法分类，而是分册编写，主要是为了教师查找、使用方便。

数学思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，而数学思想方法需要通过在教学中长期的渗透和影响才能够形成。古语云：泰山不让土壤，故能成其大，河海不择细流，故能就其深。教师应在每节课的教学中，适时、适当第体现数学思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。

                                         2020.11