《认识公顷》是苏教版小学数学五年级上册的教学内容，是学生学习面积单位的核心内容。教材首先由4幅生活中的图片引出“测量和计算土地面积，通常用公顷作单位”，回答为什么要认识新的面积单位公顷。然后引导学生通过计算边长是100米的正方形面积，得出“1公顷=10000平方米”，回答了1公顷的大小是怎样规定的。为了帮助学生在实际操作中进一步体会1公顷的大小，教材紧接着呈现了“28个小朋友手拉手围成一个正方形，面积大约是100平方米”的情境图，并让学生思考多少个这样的正方形面积大约是1公顷，解决学生有1平方米到1公顷感知上的空白，形成1公顷大小的具体参照。由此看来，教材对学生“认识公顷”是精心安排了循序渐进的过程。

数学教学的过程，是学生有“序”可循的过程，这里的“序”不仅指顺序，更多指向有序的解决问题的思维路径和结构化系统化的思维方式。对教师来说公顷是实际生活中常用的土地面积单位，但对学生来说是一个比较陌生的，相关的生活经验空白。教学结果往往出现两种情况，其一，对于“1公顷=10000平方米”这个知识点，绝大多数学生都能够比较好地掌握，但不知为什么要这样规定。其二，很多学生在上完课之后，头脑中还是没有1公顷到底有多大的表象，表现为没有“物”可依，不会用自己的语言描述1公顷或几公顷的大小，对周边熟悉的环境（如小区、公园等）不能准确地估计其大小，学生的能力只停留在识记的层次上，没有真正形成1公顷大小的空间观念。那如何让学生有序可循，有物可依，获得丰富的体验，形成完整的1公顷的表像呢？金坛市朝阳小学的吴荣强和杨亦峰两位老师对认识公顷进行同课异构，吴老师从有序可循，形成结构化系统角度进行架构，让学生知其然并知其所以然。杨老师从有物可依的视角，给孩子丰富的体验活动，通过间接认知的让孩子获得与公顷相关的活动经验，从而形成1公顷的完整认识。

一、有“序”可循，促进学生形成系统化、结构化的思维方式。

作为教育的数学，是一个经过人为的加工和提炼、依据学生的特殊需要和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系。知识、技能、经验、思想方法就相当于网络体系中的一个个结点，它们都和概念、公式、法则及数量关系之间都有着一定的联系。这种联系越广泛，就越容易与即将学习的新内容建立起通道，通过超级链接成为“网络结构”的新成员。

研究表明，当学习者所掌握的知识以这样一种网络结构的方式进行排列的时候，就可以大大提高知识的提取应用的效率，从而提高解决问题的能力。认识公顷首先要让学生理清1公顷的大小是基于什么样的基础来规定的，如何对这个问题的进行追根溯源，吴荣强老师的教学通过三个层面使学生明晰了1公顷规定的来龙去脉。

1.理清了面积单位知识的序。

通过课前资料查找和课堂有序整理，学生明白土地面积单位教材呈现的只是其中的一个部分，就是我国规定的三个公制土地面积单位：平方米(㎡)，公顷(h㎡)，平方公里(k㎡)。原来的公制面积单位公亩(a)已经不在使用，教材也就没有做介绍。如果我们按公制面积单位从小到大有序排列应该是：平方厘米，平方分米，平方米，公亩，公顷，平方千米。

其实除了公制面积单位，学生也零散的知道我们生活中常见的市制面积单位亩，分，平方丈，平方尺等。还有我们书上和生活中经常看到英制面积单位：平方英里，英亩，平方码，平方英尺，平方英寸等

吴老师帮助学生理清面积单位知识的序，使学生能站在系统的角度去考量面积单位之间的内在的关系，去回答为什么要学公顷，去深入思考这样的规定在历史的进程中为什么会发生这样的变化，为学习公顷做好了知识系统的准备。

2.明晰公制单位进率的序。

在全面了解面积单位的基础上吴老师重点梳理公制面积单位进率的序。他将公亩算进去就成这样：平方厘米（c㎡），平方分米(d㎡)，平方米(㎡)，公亩(a)，公顷(h㎡)，平方千米(k㎡)。这时他们每相邻两个面积单位的进率都是100，这样使学生更有序更清晰的认识公制面积单位之间的进率关系。

那为什么教材不把公亩放在里面进行教学呢，而是是通过“28个小朋友手拉手围成一个正方形，面积大约是100平方米”作为学习公顷的认知参照呢？而且生活中也不把公亩作为常用土地面积。在吴老师的课堂之后，我也做了深入思考，长10米宽10米的一块地为一公亩，也就是100平方，它完全用平方米来表示就行了，它的存在的价值就只是满足相邻两个单位的进率是100而已，而且还会和市制面积单位亩发生混淆，不如精简了。就好像我们人民币原来有3分币值，后来使用的时候发现其实有了1分，2分，5分，3分就是多余了，也是数学优化的结果。

理清了进率的序，弄清了背后的原理，学生就明白了为什么其他相邻两个面积单位的进率都是100，只有公顷和平方米相邻两个面积单位之间的进率是1000，为正确的运用打下了区分的基础。

3.按规定序进行合理推断。

边长是100米的正方形土地面积是1公顷，为什么要这样规定？吴老师的教学通过已有规定：边长为1厘米，1分米，1米，10米的正方形的大小分别1平方厘米，1平方分米，1平方米，1公亩，学生由此进行合理推断得到边长是100米的正方形土地面积是1公顷，再大一点就是边长1000米的正方形为 1平方千米大小，如果再大一点呢?这样的数学化的推算过程为学生积累了数学思维经验的同时，也为学生后续学习平方千米找到了路径，形成了正迁移。

二、有“物”可依，帮助学生建立丰富的、完整的概念表象。

儿童心理学研究表明，小学生的思维处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的时期，但仍以具体形象思维为主。处于这一时期的小学生在学习一个新的概念时，总是要基于自身原有的生活经验，或是依赖于课堂上的一系列操作、体验活动，并在此基础上进行适当的概括和提炼。所以杨老师采取了引导学生进行多重感官的体验，积累丰富的活动经验的教学策略，获得了良好的教学效果。

1.课前实践，亲身体验为形成表象提供载体。

由于公顷不仅“大”而且离学生“远”，为了能更好地让学生感知1公顷的大小，有必要带领学生走出教室，亲身实践，获得表象。杨老师在课前有层次地引导学生进行丰富的实践体验活动。让学生分组测量学校的教室、运动场、学校的长和宽，组织28个学生“手拉手”围成正方形人墙，其他学生测量正方形“人墙”的边长。然后计算出教室、操场等面积，为逐步拉“近”面积单位公顷与学生之间的距离，为充分感知1公顷大小做好了前期的准备，提供了间接感知的载体。

2.间接感知，推算联想为深化表象提供对接。

学生知道1公顷是10000平方米，怎么让学生形成1公顷到底有多大完整的表象，会用自己的语言描述1公顷或几公顷的大小。杨老师教学时通过课前实践获得的直接感知，通过推算得到有250间教室的占地面积大约是1公顷，4个学校小操场的占地面积大约是1公顷，整个校园占地面积大约是1公顷，将学生熟悉的教室、操场、校园面积测量的直接感知通过推算转化成间接感知，有了这样的丰富体验逐步将1公顷的表象烙在了学生的头脑中；同时在间接感知1公顷大小的基础上，进一步想象几公顷的大小，江苏十大淡水湖之一，金坛市美丽的长荡湖面积大约是8600公顷。我国道教圣山金坛茅山是江苏省八大风景名胜区之一，占地面积约5000公顷，使学生头脑中的1公顷大小有“物”可依，有“路”可循， 不断丰富学生头脑中表象。

3.实践运用，差异性体验为发展表象拓张路径。

从数学心理学角度来看，即使处于同一年龄段的，不同学生在认知水平、认知风格上也存在差异。所以我们从学生角度出发，一个班有四五十个孩子，每个人体验后获得的经验是不一样的，每个个体可能也有自己更熟悉更深刻的感知1公顷的对象，杨老师在课前实践中让学生通过数步数来测量长度，这样让长度的测量变得更方便，描述更直观，学生体验更充满个性。杨老师在课后安排了个性化的实践体验活动，请同学们找一找，生活中哪些地方的面积大约是1公顷？并写出你的理由。请同学们通过实地勘察了解自己所在的小区占地多少公顷，通过查阅资料了解自己所在的乡镇，著名的风景点占地多少公顷，并标注出查阅资料的出处。这样丰富的课后实践活动，让孩子充满好奇的直面独立思考和探索实践的挑战，这带给孩子的不仅是差异化的体验，更带给孩子不同的体验路径，教会他们享受思考、享受实践、享受探索。

最后我还是回到“同课异构”上来，因为“构”是核心，是灵魂；我关注的重点在“构”上，尽管他们的教学架构不同，展开方式也不同，但他们都是按有“序”可循的教, 有“物”可依的学的理念来实施。吴老师的课相对理性，侧重于学生结构化系统化思维方式的序的展开，对有物可依隐含在推算和思维体验中，他的课对学生的思维和空间想象力要求高，如果能长期坚持有序培养学生的数学思维、数学表达能力，学生的数学素养会获得良好的发展；杨老师的课相对感性，更侧重于有“物”可依的学，按学生获得表象的层次展开，将按学生认知规律的“序”进行教暗合在学中，学生的生活经验被逐步唤醒，思维之弦被轻轻拨动，在观察、想象、计算、推理中不断丰富着对“公顷”的认识。他的课操作性强，更适合儿童的年龄特点。

不同的理念就会有不同的切入点和不同的课堂教学架构，例如:这节课我全部就在室外进行，打开学生束缚的思维和束缚的手脚， 让学生用最自由的方式享受学习。又如，这节课能否通过地图上的面积的大小的参照比较，有整体可感知，可比较向实际面积的大小不可感知上进行的参照迁移这样的思路来进行，等等，期待更多的人一起来实践，来探讨。