理清思维生长的痕迹 —《倍的认识》教学赏析

崔艳波

徐斌老师主张“无痕教育”思想，“将教育的意图与目的隐藏起来”，而数学的本质是思维，思维的发展有其内在规律。如何使有痕的思维在无痕教育思想的润泽之下，丰厚学生数学经验，提升学生的数学素养呢？一起走进徐斌老师《倍的认识》教学。

一、找准思维生长的起点，唤醒经验

课伊始，徐老师通过谈话唤醒学生“求一个数里面有几个另一个数用除法计算”的学习经验。然后创设学生熟悉的“逛花园”场景，引导学生发现数学信息：“红花四组，黄花三组，蓝花一组，三种颜色的花，蓝花两朵，黄花6朵”后，激励学生提出问题。

师：聪明的同学还会自己提出问题！

生：三种花一共有多少朵？

生：蓝花再加几朵，就和黄花一样多了？

师：嗯！就是黄花比蓝花多几朵，还可以怎么说？

生：蓝花比黄花少几朵。

师：比较多少的问题以前我们学过吗？

生:学过。

师:在数学上，在比的时候，还有一种方法也可以用来比,那就是倍。

学生总是带着原有经验、情感、思维方式开始新的学习。摸清了“学习者已经知道了什么”这个思维发展的原点，也就摸准了学生思维发展的最近发展区。探究新知之前，徐老师根据低年级学生主要依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的特点，以学生熟悉的“逛花园”场景，将学习内容与生活情景巧妙融合，学生在不知不觉中进入学习状态。

发现和提出问题是学习的开始。引导学生自己提数学问题，自然而然唤醒学生原有认知结构，找到学生思维最近发展区，即“运用差比的关系比较两个数量”的学习经验，为两个数量另一种比较方式“倍”的理解和模型的建立”提供了思维基础。

二、建立“倍”的思维模型，积累经验

教师通过教具演示比较2朵蓝花和6朵黄花，指出“黄花有3个2朵，黄花的朵数是蓝花的3倍”。

然后通过在黑板上圈画图形，比较蓝花和红花。

师：红花的朵数是蓝花朵数的4倍，其实就是问8是2的几倍。用什么方法算？

生：8是2的4倍。8÷2=4。

师：这里8表示什么花的朵数？

生：红花。

师：2表示——（蓝花）4表示——（倍数）8就是2的4倍。

（初步感知“倍”的基础上，教师让学生说一说“倍”是怎么产生的。）

生：先把它分成同样的几份，然后看看他们相差几倍。

......

“学生的学习方式要与认知规律相适应”。低年级学生以直观形象思维为主，教师通过蓝花、黄花教具的演示让学生直观感受倍的意义，通过黑板上圈画的方式比较蓝花和红花，让学生经历从实物到图形，从直观思维向抽象思维过渡的发展过程，初步建立倍的思维模型。此时，学生的思维还停留在模仿记忆阶段，没有完全内化为自己的知识结构，出现错误在所难免。进一步让学生在教材上边圈边填，在操作活动中发展思维，从模仿走向理解，由“经历”走向“经验”。

三、摸准思维生长点，提升经验

课件出示：第一行两朵蓝花，第二行8朵红花。红花每两朵,用弧线标在了一起。

师：变一个小魔术，看谁的眼光好？

变式一：蓝花2朵，红花由8朵变为10朵，红花朵数是蓝花的几倍？怎样用除法计算？蓝花朵数不变，红花变为12朵呢？

师:谁能说说，这时红花是蓝花的几倍?

生：10÷2=5，10是2的5倍。12÷2=6，12是2的6倍.

（学生的思维由模仿走向迁移。）

变式二：蓝花2朵，红花变为4朵，红花朵数是蓝花的几倍？怎样用除法计算？蓝花2朵，红花变为2朵，红花朵数是蓝花的几倍？

（此时，学生的思维卡壳了，徐老师以共情的心理及时疏通学生思维中的障碍。）

师:为什么不敢说呢？2除以几呀？

生：2。

师:得到的是几？

生：1。

师：也就是2是2的1倍。1倍其实就是说明红花和黄花的数量怎么样？

生：相同。

（错误是思维从浅层走向深刻的必经之路。在学生的“困惑”中揭示“1倍”的概念，学生的理解才更深刻。）

变式三：蓝花2朵，黄花6朵。现在蓝花增加1朵成3朵，如果依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，怎么办？帮老师想个办法！

（开放的问题，给学生的思维带来了不小的挑战。）

生：6÷3=2。

师：那不是它的3倍是2倍——不行，谁来想个办法?

生：再加两朵黄花。

师：加两朵就行了？

生：3朵。

师：每一份加几朵？

生：1朵。（屏幕黄花由6朵变为9朵，黄花每份各加了1朵)

生：9÷3=3。

（由“1倍数不变，几倍数变”到“几倍数不变，1倍数发生变化”，学生的思维从出错、调整，最后理解“几倍数的每一份数要和1倍数保持相同”的过程，也是学生经验不断拔节生长的过程。）

变式四：蓝花变成4朵，依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，怎么办？蓝花变成1朵，要使黄花是蓝花的3倍，怎么办？

师：继续看，蓝花变成了几朵？

生：1朵。

师：显然，黄花的朵数现在不是蓝花的3倍，要让黄花的朵数是蓝花的3倍，怎么办呢？

生：拿走6朵黄花。

师：用算式表示？

生：3÷1=3。

师：这个算式很独特，3是1的3倍。4是1的几倍？

……

进行有效思维训练离不开具体情境的承载。本节学习素材的运用上体现了实、活、足的特点。用实：简简单单的花朵素材，准备简单、制作方便；用活：徐老师通过1倍数不变，改变几倍数，几倍数不变，改变1倍数，把学习素材用活了，思维得到有效提升；用足：以花朵素材为载体，思维在“变”中生长。

学生的思维也经历了迁移、提升、灵活的变化过程。“1倍数不变，几倍数变”，学生初步建立起“倍的思维模型”；“几倍数不变，1倍数变”解决问题的方式随之发生变化，可以增加花的朵数，也可以减少花的朵数。学生思维随着数据的变化、解决问题方式的变化，不断调整和生长逐步走向灵活，学习经验也得到了有效提升。

四、把住思维延展点，重构经验

此环节，徐老师设计了“观察图形”“拍手游戏”“摆小棒”“测量线段”“连线填空”“涂色游戏”等活动。

大屏幕显示：一条绿色带子。

师：绿色带子中有“倍”吗？

生：没有。

师：为什么没有？

生：只有一个带子没法比较。

师：没有谁和它比较，怎么会有倍呢？继续看——

（大屏幕又出示一根同样长的红带子。）

师：产生“倍”了吗？

生：产生了。

师：几倍？

生：1倍。

师：继续看——（大屏幕出示5条红带子）红带子的长度是绿带子的几倍？生：5倍。

……

斯托利亚尔说：“数学教学是数学活动（思维过程）的教学，而不仅是数学结果（数学知识）的教学。”这一思想如何落实在徐老师的课堂上的呢？

第一，变中不变。思维发展的载体随着游戏形式的变化而变化。拍手游戏声音引发思维，涂色游戏颜色变化促进思维，摆小棒动作产生思维，连线填空语言启动思维。形式无论怎样变，其思维核心始终顺着“倍是怎么产生的”这条明线，围绕“数学经验”这条暗线展开活动。

第二，内“思”外“辨”。出示一个绿色图形——“这个有倍吗？”“为什么没有？”出示同样长的红色图形——“产生倍了吗”，将学生隐性思辨与显性思辨圆融共生，不断犁动学生思维的土壤，激活思考系统，延展思维空间的兼容性，将不断提升的学习经验内化为自己的知识结构。

纵观整节课，徐老师将学生思维的种子，种在学生原有经验“差比”里，在熟悉的生活场景中认识“倍”，获得思维的基本模型，在一材多用的游戏中使思维获得生长，在更为多变的情境中延展思维，深刻理解“倍”的产生是“比出来”的这一本质。顺着经验唤醒、经验提升、经验重构这条思维发展的路径，在“无痕教育”思想中让思维“有痕”发展。

 （此文已发表在河北教育2018年10月下旬刊教学版）