蒋守成 : 常州市金坛区东城实验小学校长，江苏省小学数学特级教师，常州市特级校长，江苏省“333工程”培养对象，江苏省乡村骨干教师培育站优秀主持人，常州市名师工作室优秀领衔人，常州市教育领军人才。出版了小学数学读本《走进你知道吗》、主题思维丛书《图形王国》等著作。
编者按：触类旁通是指“掌握了关于某一事物的知识，而推知同类中其他事物”。触类旁通不仅是教师教学的一种手段，也是学生数学学习的一种方式，通过触类旁通达到融会贯通。
数学主题拓展教学有三个基本要素：主题、拓展、思维。主题是思维的起跑线，拓展是思维的发动机，目标是促进学生形成系统化结构化的思维方式。在这样的教学范式下，学生的思维方式有了很大的变化，特别是在结构化的思维方式上有了很大的提升，能够从一课习得的思想方法运用到相类似的或者紧密联系的“这一类”数学问题解决中，学会举一反三、触类旁通达到融会贯通。下面，以四年级主题拓展课“省刻度尺”一课为例，谈谈如何让学生学会触类旁通学数学。
课前思考
选择以“省刻度尺”为主题作进行拓展教学，主要是基于以下思考：一是“省刻度尺”问题既是“以少表示多”的典型问题，也是华罗庚统筹优化思想的具体表现。二是“省刻度尺”的研究适合学生去自我探究和发现，可以为学生的后续学习服务，为解读生活中的现象提供经验。三是省刻度尺的教学是对人教版教材四年级上册数学广角统筹、优化学习内容的拓展。四是通过省刻度尺的教学帮助学生将生活中相关联的这一类形成系统化和结构化的思考。
教学时经历了三个板块的学习：一是引导学生像数学家一样经历省刻度尺的形成过程，明晰什么是省刻度尺，并能判断什么样的刻度尺是省刻度尺。二是学生利用最省最优的方法自我创造一把省刻度尺，感受有序思考的策略。三是类的拓展，抓住用少表示多等本质特征拓展到同类问题，逐步体悟省的学问和省的智慧。省刻度尺问题的研究，创造了学生主动思考的事件，帮助学生能将生活中的问题通过数学化的处理达到最省，最优，效率最大化的效果。
教学过程
一、聚焦主题，形成类结构。
（一）经历数学家一样的探究过程，明晰什么是省刻度尺。
1.共同探究省了一个刻度的情况。
师：今天的数学研究从一把5厘米长的直尺开始。
提问：用这把直尺量出3厘米，你们说怎么量？
生：从0量到3就可以量出3厘米。
提问：刻度3被老师省掉了（如下图），你还能用这把直尺一下子量出3厘米吗？说说你是怎么想的？
生1：没有刻度3我们可以从刻度1量到刻度4
生2：我们也可以从刻度2量到刻度5
师：虽然没有刻度3，但同们学改变了我们的测量方法，由一直从0刻度开始量改成从1或2开始量，打破了固有的习惯，同学们，我们有的时候解决问题要打破常规，找到了解决问题的新路径。
现在我们将测量3厘米的方法记录了下来，3 （1-4）（2-5），请同学们其他刻度也用这种方式表示出来。
有序板书： 1（0-1）（1-2）（4-5），
2（0-2）（2-4），
3（1-4）（2-5）
4（0-4）（1-5），
5（0-5）
2．自主探究省两个刻度和三个刻度的情况。
师：省掉一个刻度，我们照样能一次量出所有刻度中的任意一个刻度。如果这把5厘米的尺子省掉两个刻度或者三个，你觉得还能不能一次量出所有的刻度中的任意一个刻度呢？我们一起来研究：
（1）问题：下面这两把直尺一次能量出哪些长度？先想一想，然后把你能量出的所有长度清楚地记录在作业纸上。
（2）比较：刚才我们分别研究了5厘米的刻度尺省掉一个刻度、省掉两个刻度都能够一次量出所有刻度中的任何一个，省掉三个刻度的直尺不能全部量出来，你觉得哪把直尺上的刻度省的恰到好处，有技术含量，觉得很神奇？说说你的想法？
（3）分享：省了一个刻度虽然可以一次量出1到5厘米之间任意一个整厘米长度，但是用到的刻度还是多了一个，不是最省刻度的；省了3个刻度，但1到5厘米之间有些整厘米的长度却无法一次度量出来，显然是刻度省的太多；省了两个刻度不仅能够一次度量出1到5厘米之间任意一个整厘米的长度，而且用到的刻度也是最省的，这把直尺上的刻度省的恰到好处是最神奇的。
（4）由来：如果要你给这把最省刻度的直尺起个名字，你会把它叫什么呢？
其实这种特殊刻度尺是英国数学游戏大师杜德尼，早在一百多年前就发现了，命名为省刻度尺，我们一起来看一段微视频。
英国数学游戏大师杜登尼在100多年前发现：一根23cm长的尺子，通过最省、最优的办法只须6个刻度（头尾不用刻），就能够度量出1~23任何整数厘米长的物品，如果减少一个刻度就不能量出所有的刻度，如果增加一个刻度就不是:最省，我们把这种尺被称作“省刻度尺”
（5）标准：什么样的刻度尺才是省刻度尺？标准是什么？
讨论得到不仅要能一次量出所有长度中的任意一个，而且要刻度最省。
（6）判断：下面的刻度尺是不是省刻度尺。
下面是一把7厘米长的直尺，0和7之间只有2个刻度，它是不是一把省刻度尺？先把能量出的长度有序的记录在作业纸上，然后再想一想它是不是省刻度尺。
生：不能量出3厘米，其他刻度都能量出来， 所以不是省刻度尺。
师： 根据老师的研究0和7之间至少要有3个刻度才能成为省刻度尺，那么再添一个刻度使它成为一把省刻度尺，请你添一个并把记录补充完整。
生：添3刚好有了3，(0,2,3,6,7)；添,4，4到7是3 (0,2,4,6,7) ， 添5，2到5是3。（0,2,5,6,7）
师：同样缺3厘米，添的数不同，得到的省刻度尺也不同。看来解决一个问题的答案布置一种，我们不能把之一当唯一，其实7厘米中间添上3个刻度成为一把省刻度尺还有更多的方法。
除了从1开始想，(0,1,2,5,7) (0,1,3,5,7) (0,1,4,5,7) ，还可以从2开始想(0,2,3,6,7) (0,2,4,6,7) （0,2,5,6,7），也可以从3、4开始想，开始(0,3,4,6,7) (0,3,5,6,7) (0,4,5,6,7) 这样有序的思考可以帮助我们寻找到更多解决问题的办法，带着这样的思考我们一起来创造一把省刻度尺。
（二）引导学生利用最省最优的方法创造一把省刻度尺。
问题：这是一把6厘米长的刻度尺，请你添上最少的刻度，设计成一把省刻度尺呢？（呈现学生作业单如下）
提问：仔细观察我们添加的这些刻度，你觉得我们在添加这些刻度时有什么方法可循吗？
小结：不管添加哪2个数，4个数中至少要有两个数是相邻的，然后我们可以再进行比较和调整，达到最省最优的标准。
让学生运用省的方法、省的策略自己设计一把省刻度尺，在设计的过程中体验省的方法和策略，为后续进一步研究省刻度尺里是否存在一般规律的问题提供经验。
二、运用类结构、触类旁通。
（一）引导学生利用省的智慧解决学习和生活中一类问题。
问题一：量角器上的省刻度。
师：直尺中的刻度省了照样可以量出所有的刻度，哪我们认识的量角器里的刻度可不可以省呢？ （出示：一把不完整的量角器）利用这把量角器你可以一次量出哪些角度？同桌先独立思考，然后交流，两个人形成共识后向全班展示。
学生分享：10°（ 0° — 10°） 20°（10°— 30°）
30°（ 0° — 30°） 50°（30°— 80°）
70°（10°— 80°） 80°（ 0° — 80°）
追问：除了可以量出以上这些度数外还可以量出哪些度数？
学生讨论得出还可以从右边180度考虑例如量出
170°（10°— 180°） 150°（30°— 180°） ……
问题二：人民币中的省面额。
师：我们在研究直尺、量角器过程中发现“虽然刻度省了，但照样能量出更多的长度或角度”，省不仅是一种学问，省也是一种智慧，在我们的日常生活中，省无处不在，除了省刻度，我们经常用的人民币中也用到了“省的智慧”。
同学们你知道吗？为什么常见的小额面值的人民币只有1元、2、元、5元和10元，而没有3元、6元等其他面值呢。
学生分享：
生1：用1元、2元、5元就可以通过比较少的加减运算得到另外一些数，1+2=3，2+2=4，1+5=6，2+5=7，10-2=8，10-1=9。
生2：现在我们2元都省掉了，只是运算次数都了而已。
生3：现在都用微信和支付宝，都不需要纸币了。
……
微视频介绍：为什么常见的小额面值的人民币只有1元、2元、5元和10元，这四种。
抓住“省刻度尺”的本质，同时结合生活实际进行拓展，延伸到同类问题，进行触类旁通的学习，让学进一步体会到省的智慧、省的学问。
课后思考
这节课有多个版本，以上是我在银川全国名师工作室博览会上的一个版本。这节课是以省刻度为主题，带给孩子独立的思考、自由的探索的数学品质。在过程中感受以少表示多的神奇之处，获得省的学问，同时从一个到一类来拓展学生对统筹和优化思想认识的域，为后续更好的解释数学和生活中的优选法和统筹法中最优化等问题服务。例如，学生学完省刻度就能理解和解释其他相邻的两个面积单位的进率都是100，那为什么公顷和平方米的进率却是10000的道理。关于人民币的面值，学生们还会思考，中国古代货币的面值是怎样设计的？外国的货币的面值是怎样设计的？未来的货币又会怎么样呢？在成都举行的数学素养研讨会上我执教的《省刻度尺》的另外一个版本，将省刻度尺作为数学名题为主题，拓展到一类名题，教给学生触类旁通学数学的本领。所谓触类旁通学数学就是让学生掌握某一个问题具体解决的办法，然后就能推知同类问题解决”。“触类旁通”不仅是教师教学的一种手段，也是学生数学学习的一种方式，通过触类旁通从而融会贯通。
——原文发表《河北教育》2020年12期
（作者单位：江苏省常州市金坛区东城实验小学）
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